TO UP S C I - G A M E S - C L U B    ( Читальный Зал ) HOME

Занимательный компьютер "В МИРЕ НАУКИ" 1989/#02

Случайное движение и образование фрактальных скоплений

А. К. ДЬЮДНИ

Что это -- ион цинка, частичка сажи или покачивающийся пьяный -- блуждает по экрану дисплея? Соединится ли этот объект с другими ему подобными, образующими вместе металический цветок, темное пятно или безумную толпу? Ответ пусть подскажет вам собственное воображение, но -- будь то цветок, пятно или толпа -- форма агрегированной структуры будет, безусловно, фрактальной; можно даже измерить ее фрактальную размерность (которая лежит в диапазоне от 1 до 2).
     ...
     Диффузионно-ограниченная агрегация может послужить неплохим представлением, например, такого физического процесса, как диффузия ионов цинка в двумерном электролитическом растворе. Когда ионы входят в контакт с агрегированным металическим цинком на электроде, они немедленно прилипают к ранее осажденным атомам. Частички сажи, хаотично блуждающие прежде, чем они встретятся с другими частичками, уже прилипшими к какому-нибудь субстрату, по-видимому, также следуют этому процессу, хотя в данном случае сила, сцепляющая их с другими частичками, является силой электрического притяжения.
     Конечно, самая забавная (хотя и наименее реалистичная) модель процесса ДОА (диффузионно-ограниченной агрегации) -- это множество пьяных, блуждающих в темноте, которые, наткнувшись на сборище своих безчувственных мирно похрапывающих товарищей, ложатся в кучу и тут же засыпают. При помощи аэросъемки спящей толпы при дневном свете, наверное, можно установить, что она имеет фрактальную форму, аналогичную кластерам атомов цинка или пятнам сажи.
     Ключем к моделированию диффузионной части процесса ДОА является "случайное движение". Каждый шаг случайного движения, проходящего в двух измерениях, совершается в одном из четырех случайным образом выбираемых направлений: север, юг, восток, запад. (Иногда в случайном движении допускаются также промежуточные направления, такие, например, как юго-восток или северо-запад, но мы будем придерживаться упрощенной версии.) ... Наблюдая за тем, как движется такая частица на экране, невольно начинаешь сомневаться, что она когда-либо достигнет точки назначения. Однако в блуждании частицы все же есть цель (хоть это звучит несколько теологически): достичь скопища себе подобных частиц, постепенно образовавшегося в центральной части экрана.
     Все начинается с того, что программа SLO GRO помещает одну частицу в центр экрана компьютера. Затем из произвольной точки большого круга с центром в точке, где находится первая частица, начинает случайное движение другая частица. Проделав долгий и сложный путь, она наталкивается на неподвижную частицу и останавливается. После этого программа сразу же отправляет в путь следующую частицу, которая также стартует из случайно выбранной точки на круге и совершает аналогичное путешествие. Частицы одна за другой собираются в том месте, куда была помещена первая частица, и постепенно в центральной части круга начинает вырастать древовидное образование со странно переплетающимися ветвями и сучьями. Такую причудливую форму эта структура имеет потому, что случайно блуждающие частицы чаще всего наталкиваются на неподвижных собратьев уже на периферии образования, задолго до того, как проникнуть вглубь, в более плотно заселенную центральную часть. Новые веточки с большей вероятностью начинают расти также от веток, а не от ствола, если можно так выразиться.
     ...
     Алгоритм диффузии (SLO) немного проще алгоритма агрегации (GRO). ... Чтобы выбрать точку на окружности, из которой очередная частица начинает свой путь, алгоритм SLO выбирает случайный угол в одном операторе и затем в последующих двух операторах вычисляет координаты точки на окружности, где она пересекается радиусом, проведенным под данным углом к горизонтали:
     ...
     Выбрав точку старта для очередной частицы, программа SLO должна привести ее в движение .., частица случайно перемещается вверх, вниз, вправо или влево на один пиксел. А вот что не выражено явно, так это два условия, при удовлетворении которых частица должна остановиться: в том случае, когда частица вышла за пределы окружности, с которой она стартовала, или если она достигла пиксела, прилегающего к уже накопившемуся скоплению неподвижных частиц, составляющих фрактальный объект. В первом случае программа просто ликвидирует частицу -- если бы она этого не делала, то частица могла бы легко уйти за пределы экрана в бесконечное темное пространство электронного мира машины. Во втором случае программа фиксирует частицу в той точке, где она соприкоснулась с растущим кластером; частица как бы замирает на месте, загипнотизированная фрактальной Медузой.
     ...
     Фрактальные образования, подобные тем, которые строит программа SLO GRO, имеют определенную размерность, характеризующую скорость их роста. Рассмотрим, например, число частиц, лежащих в пределах окружности радиуса R. Если частицы образовавшегося скопления более или менее равномерно и плотно заполнили область роста, то естественно полагать, что удвоение радиуса приведет к учетверению числа частиц, заключенных внутри окружности, другими словами, рост агрегата идет по квадратичному закону и, таким образом, число частиц пропорционально R^2. С другой стороны, если скопление частиц вытягивается в линию с немногочисленными ответвлениями или вообще без ветвей, то удвоение R приведет просто к удвоению числа частиц во внутренней части круга. Таким образом, рост агрегата будет линейным или пропорциональным R. Оказывается,фрактальный рост несколько быстрее линейного, но медленнее квадратичного: число частиц фрактального объекта, заключенных в круге радиуса R, пропорционально R^d, где d -- число в диапазоне от 1 до 2.
     ...
     Смиертка сделал в точности то же самое с одним из произведений программы SLO GRO. Коэфициент полученной линии роста оказался равным 1,58. Правда, эта оценка немного меньше значений, обычно приводимых в научной литературе, но едва ли это обстоятельство испортит настроение любителю, проводящему свой собственный эксперимент. Он провел исследование с различными правилами прилипания частиц к агрегату и измерил размерности получившихся фракталов ДОА.
     ...
     К. Эбер, выпускник журналистского факультета Колорадского университета в Баулдере, написал версию программы SLO GRO, в которой частицы рождаются в случайно выбранных точках левого края экрана... Через каждые 100 итераций Эбер менял цвет частиц, что позволяло ему быстро оценивать число частиц, скопившихся на экране дисплея.
     Наконец, я должен также сказать и об М. Эллере, приславшем письмо из японского города Хиросима. Он составил программу SOOT (сажа), похожую на SLO GRO во всех отношениях, за исключением того, что у него диффузия проходит в обратном напрвлении: частицы выходят из центра экрана и блуждают до тех пор, пока не натыкаются на очертание окружности или на другую частицу сажи. В результате от окружности начинают расти ветви к центру, и в конце концов источник оказывается поглощенным этой паутиной.



http://www.chat.ru/~lifesoft Life Software  ( Last modified: Mon Aug 14 20:22:12 YEKST 2000 ) (C)