Эти необычайно изящные структуры -- не просто математическая забава. Фрактальная геометрия четко описывает сложные природные объекты и процессы

...
"Патологические структуры", придуманные математиками прошлого столетия, в последние годы приняли форму фракталов, -- математических объектов, имеющих дробную размерность в отличие от традиционных геометрических фигур целой размерности (например, одномерных линий или двумерных поверхностей). Нынешнее увлечение фракталами в основном является следствием работы Бенуа Б. Мандельброта, сотрудника Исследовательского центра имени Томаса Дж. Уотсона корпорации IBM в Йорктаун-Хейтсе (шт. Нью-Йорк). Термин "фрактал" был введен Мандельбротом в 1975 г.; он происходит от латинского слова fraktus, прилагательного от глагола frangere, что значит "ломать, разбивать". Понятие фракталов ворвалось в сознание математиков, других ученых и даже людей, не связанных с наукой, в 1983 г., когда была опубликована основополагающая книга Мандельброта "Фрактальная геометрия природы".
     Фракталы -- это нечто гораздо большее, чем математический курьез. Они дают чрезвычайно компактный способ описания объектов и процессов. Многие структуры обладают фундаментальным свойством геометрической регулярности, известной как инвариантность по отношению к масштабу, или "самоподобие". Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же фундаментальные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную, или фрактальную, размерность структуры. Фрактальная геометрия описывает природные формы, по-видимому, изящнее и точнее, чем евклидова геометрия.
     Инвариантность по отношению к масштабу имеет примечательную параллель в современной теории хаоса, согласно которой многие явления, несмотря на то, что они следуют четким детерминистским правилам, в принципе оказываются непредсказуемыми. Хаотические явления, такие, как турбулентность атмосферы или ритм сердечных сокращений у человека, проявляют сходные закономерности в вариациях в различных временных масштабах во многом подобно тому, как объекты, обладающие инвариантностью к масштабу, проявляют сходные структурные закономерности в различных пространственных масштабах. Соответствие между фракталами и хаосом не случайно. Скорее оно является симптомом их глубинной связи: фрактальная геометрия -- это геометрия хаоса.
     Еще одна параллель между фрактальной геометрией и теорией хаоса заключается в том, что последние открытия в той и другой области стали возможными благодаря мощным современным компьютерам. Этот факт противоречит традиционным математическим представлениям. В то время как многие математики встретили приход компьютеров с энтузиазмом и чувством облегчения, другие рассматривают компьютеризацию как отрицание чистой математики.

Фракталы -- это прежде вссего язык геометрии. Однако их главные элементы недоступны непосредственному наблюдению. В этом отношении они принципиально отличаются от привычных объектов евклидовой геометрии, таких, как прямая линия или окружность. Фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур. Эти алгоритмы трансформируются в геометрические формы с помощью компьютера. Репертуар алгоритмических элементов неисчерпаем. Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же четко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии.
     Язык -- это очень подходящая метафора для концепции, лежащей в основе фрактальной геометрии. Как известно, индо-европейские языки базируются на алфавите с конечным числом букв (например английском, включающем 26 букв). Буквы не несут в себе никакого смыслового значения до тех пор, пока они не соединены в слова. Точно так же евклидова геометрия состоит лишь из нескольких элементов (прямая, окружность и т.д.), из которых строятся сложные объекты, геометрически выражающие некий смысл.
     С другой стороны, азиатские языки, например китайский, состоят из символов, которые сами по себе уже выражают смысловое значение. Количество возможных символов, или элементов этих языков, произвольно велико и может считаться бесконечным. Аналогично можно рассматривать и фрактальную геометрию. Она состоит из бесконечного количества элементов, каждый из которых является завершенным и единственным в своем роде. Геометрические элементы определяются алгоритмами, которые функционируют как единицы "смыслового значения" в рамках фрактального языка.

Существуют две основные группы фрактальных языков: линейные и нелинейные. Оба диалекта используют бесконечное количество алгоритмов и, следовательно, охватывают бесконечное число возможных фрактальных изображений. Язык нелинейных фракталов гораздо богаче и разнообразнее. Большинство диалектов следует детерминированному набору правил (аналогичных правилам граматики и фонетики). Одно семейство фракталов, называемых случайными фракталами, отличается от других тем, что его объекты строятся путем применения управляемой случайности.
     Геометрия линейных фракталов представляет собой наиболее распространенный диалект фрактальных языков. Эти фракталы считаются линейными, потому что их алгоритмы аналогичны по форме тем алгоритмам, которые определяют линии на плоскости (на математическом языке это означает, что они содержат лишь члены первого порядка).
     Линейный алгоритм можно исследовать с помощью воображаемой копировальной машины со многими редукторами (...) способными многократно уменьшать исходное изображение. Такая машина является метафорическим выражением блестящей работы, выполненной Дж. Хатчинсоном, математиком из Австралийского национального университета в Канберре. Эта машина действует так же, как и обыкновенная копировальная машина, обладающая возможностью уменьшать или увеличивать изображение, но отличается тем, что имеет несколько уменьшающих линз, каждая из которых может копировать вводимое в машину изображение. Линзы могут настраиваться на различную степень уменьшения, и уменьшенные изображения могут помещаться в любое место. Таким образом, изображение может перемещаться, сжиматься, отражаться, вращаться и трансформироваться произвольным образом при условии, что прямые линии на изображении остаются прямыми после пробразования.
     Способ, которым изображение перемещается и сжимается, определен алгоритмом. С помощью механизма обратной связи изображение подвергается многократной обработке, в процессе которой постепенно возникает фрактальная форма.
     ... Предельное изображение зависит лишь от правил сжатия и переноса (т.е. от алгоритма), запрограммированных в машине.
     Эти правила представляют собой частный случай общего понятия, называемого математическими аффинными линейными преобразованиями на плоскости. Эти преобразования сохраняют прямые линии, но изменяют их положение, масштаб и общую ориентацию...

Теперь обратимся к другому семейству фрактальных языков, их нелинейным диалектам. Один из них, так называемый квадратичный диалект, привлекает к себе особое внимание. Он порождает большое разнообразие геометрических форм с помощью довольно простого алгоритма, тесно связанного с современной теорией хаоса.
     Теория, лежащая в основе квадратичного диалекта, впервые была описана в 1918 г. французским математиком Гастоном Жюлиа, находившимся тогда в госпитале после ранений, полученных на фронте во время первой мировой войны. Как его работа, так и работа его современника и соперника Пьера Фату вскоре были преданы забвению, однако недавние исследования Мандельброта вновь привлекли внимание к их теории. Интеллектуальные достижения Жюлиа и Фату примечательны тем, что в их распоряжении не было вычислительных машин и им всецело приходилось полагаться на воображение.
     Жюлиа и Фату занимались изучением комплексных чисел; как известно, комплексное число состоит из действительного числа и мнимой части, содержащей в качестве множителя мнимую единицу i, определяемую как квадратный корень из -1. Комплексные числа обычно отображаются на плоскости с перпендикулярными координатными осями, одна из которых представляет действительные числа, а другая мнимые. Обоих ученых интересовал вопрос, что будет с последовательностью точек z_k на комплексной плоскости, если они порождаются преобразованием q(z)=z^2+c . Каждая новая точка z_(k+1) получается подставлением предыдущей точки z_k в приведенную формулу преобразования. Комплексное число c является управляющим параметром, который можно выбирать произвольным образом. Казалось бы несложный процесс с обратной связью порождает потрясающее многообразие форм.
     Когда исходная точка z_0 подвергается преобразованию, то получающаяся последовательность демонстрирует поведение двух типов. Она либо свободно путешествует по плоскости, постепенно уходя в бесконечность, либо оказывается замкнутой в определенной области комплексной плоскости. Первые из них образуют множество "беглецов", те же, что остаются в замкнутом пространстве, принадлежат множеству "пленников". Исходная точка z_0, выбранная из множества пленников, генерирует последовательность, которая остается в численной неволе, независимо от того, сколько поколений этой последовательности вычисляется. Форма этой "тюрьмы" зависит от выбранного значения параметра c. Для точки z_0, лежащей вне замкнутой области, последовательность z_k удаляется от центра плоскости и уходит в бесконечность. Множество пленников и множество беглецов отделены друг от друга бесконечно тонкой границей, известной как множество Жюлиа.
     ...
     Теперь мы подошли к одной из самых трудных и в то же время захватывающих задач фрактальной геометрии. Если вернуться к метафоре языка, то задачу можно сформулировать в виде следующего вопроса: каковы граматические правила квадратичного диалекта? Выражаясь же математическим языком, мы поставим этот вопрос так: лежит ли в основе бесконечного многообразия множеств Жюлиа некая регулярность?
     Поиски ответа на этот вопрос привели к одному из наиболее замечательных открытий экспериментальной математики. Решение заключается в том известном Жюлиа и Фату факте, что для каждого управляющего параметра c получающееся в результате фрактальное изображение попадает в одну из двух категорий. Множество Жюлиа может быть единой связной областью или может состоять из бесконечного числа не связанных друг с другом точек, разбросанных подобно пылинкам.
     Предположим, что мы нанесли точку на комплексной плоскости для каждого значения управляющего параметра c, которое принадлежит связному множеству Жюлиа, и оставили пробел для значений c, принадлежащих несвязным множествам. Результатом будет ставшее уже знаменитым множество Мандельброта -- фрактал, поражающий богатством своих форм.
     Очевидно, нам нужно каким-то образом узнать, является ли данное множество Жюлиа связным, чтобы определить принадлежность точки c множеству Мандельброта. Одно из крупнейших достижений Жюлиа и Фату состояло в открытии ими того факта, что эта трудная задача решается путем несложных подсчетов. Рассмотрим последовательность значений z_k, полученных по формуле g(z)=z^2+c , когда исходная точка z_0 равна нулю. Таким образом, наше внимание концентрируется на ключевом факторе, управляющем параметре c. Получающаяся последовательность имеет вид 0, c, c^2, c^2+c, (c^2+c)^2+c, ... . Если она не уходит в бесконечность, то ассоциированное с параметром множество Жюлиа будет связным и точка c принадлежит множеству Мандельброта.

     ...
     Независимо от природы или метода построения у всех фракталов есть одно важное общее свойство: степень изрезанности или сложности их структуры может быть измерена неким характеристическим числом -- фрактальной размерностью. Различные определения понятия фрактальной размерности в большей или меньшей степени восходят к работе Ф. Хаусдорфа, опубликованной в 1919 г. Хаусдорф был математиком в Боннском университете.
     Следуя идее Мандельброта, фрактальную размерность можно определить методом подсчета квадратиков. Представим себе объект сложной формы, который сплошь покрыт квадратиками, как миллиметровая бумага. Часть квадратиков будет содержать элементы множества, другие квадратики будут пустыми. Число непустых клеток N зависит от формы объекта и от размеров квадратной ячейки E. Постулируется, что N пропорционально 1/E^D (чем мельче решетка, тем больше непустых ячеек). Показатель степени D и является размерностью объекта. Например, для такой сплошной плоской фигуры, как круг, уменьшение размера решетки вдвое приведет к увеличению количества непустых клеток в четыре раза (два в квадрате), потому что фигура обладает. размерностью два. Для фрактала количество непустых клеток будет возрастать с несколько меньшим, дробным показателем степени.
     Описанная процедура не ограничивается математическими объектами или формами на плоскости. Аналогичным образом можно подсчитать фрактальную размерность реальных объектов, таких, как реки, облака, береговые линии, артерии или реснички, покрывающие стенки кишечника. Артерии человека, например, имеют фрактальную размерность порядка 2,7.

Помимо той полезной роли, которую играет фрактальная геометрия при описании сложности природных объектов, она предлагает еще хорошую возможность популяризации математических знаний. Понятия фрактальной геометрии понятны и интуитивны. Ее формы привлекательны с эстетической точки зрения и имеют разнообразные приложения. Поэтому фрактальная геометрия, возможно, поможет опровергнуть взгляд на математику как на сухую и недоступную дисциплину и станет дополнительным стимулом для учащихся в освоении этой интересной и увлекательной науки.
     Даже сами ученые испытывают почти детский восторг, наблюдая за быстрым развитием этого нового языка -- языка фракталов. Вот что пишет сам Мандельброт:
     "Ученые с немалым удивлением и восторгом ... уяснят для себя, что многие и многие формы, которые они до сих пор вынуждены были характеризовать как зернистые, гидраподобные, похожие на морские водоросли, странные, запутанные, ветвистые, ворсистые, морщинистые и т.п., отныне могут изучаться и описываться в строгих количественных терминах.
     Математики будут ... удивлены и обрадованы, узнав, что [фрактальные] множества, считавшиеся до сих пор чем-то исключительным ... в некотором смысле должны стать правилом, что конструкции, считавшиеся патологическими, должны происходить естественным образом из очень конкретных задач и что изучение природы должно помочь решить старые задачи и поставить немало новых".