N11, 1997
- Как разрешить спор о приоритетах?
- Кого считать истинным творцом новых понятий?
- Каковы критерии открытия?
- Кто же открыл фрактал Мандельброта?
Игорь Андрианов,
доктор физико-математических наук
Спор о принадлежности Курильских островов приобретает трагикомический
оттенок: как только российские историки находят подтверждение более раннему
пребыванию на островах россиян, сразу же японские находят аналогичные свидетельства
о японских мореплавателях, и так далее. И те и другие правы, спор не имеет
логического разрешения, но это - вопрос политики, где нас уже удивить чемнибудь
трудно; гораздо интереснее, что и приоритетные научные вопросы тоже оказываются
трудноразрешимыми.
Кто открыл дифференциальное и интегральное исчисления? Лейбниц? Ньютон?
Как отмечает российский академик В. И. Арнольд, "интегрирование встречается
уже у Архимеда, дифференцирование - у Паскаля и Ферма, связь между обеими
операциями была известна Барроу. Что же сделал Ньютон в анализе? Ньютон
изобрел ряды Тейлора - основное орудие анализа".
А вот более свежий пример. Недавно на страницах журнала "Mathematical
Intelligencer" ("Математический информатор") прошла занятная
дискуссия под названием "Кто же открыл фрактал Мандельброта?"
Напомним, что фрактальное множество - самоподобная структура- один из "горячих"
объектов современной науки. О фракталах неоднократно писал и журнал "Знание
- сила", подчеркивая их важную роль в современной нелинейной науке.
Подобные объекты были известны довольно давно, но настоящий интерес к ним
появился после активной популяризаторской деятельности Бенуа Мандельброта,
работающего в корпорации IBM. Именно он ввел название "фрактал",
связанное с дробной размерностью подобного необычного объекта, и указал
на чрезвычайно широкое распространение этих объектов в нашем мире (приходилось,
скажем, читать, что схема линий парижского метро имеет фрактальную структуру).
щелкните по картинке
В определенном смысле одним из эталонных фрактальных множеств стало
изображенное на рисунке множество Мандельброта, которое последний называл
"своей подписью". Это связано с простотой описывающей это множество
функции, что, в свою очередь, приводит к его универсальности - многие процессы
могут быть описаны при помощи этого фрактала.
Мандельброт опубликовал свою работу в конце 1980 года, однако С. Кранц
в "Математическом информаторе" указал, что математики Р. Брукс
и Дж. Мателски обнаружили это множество и опубликовали соответствующую
работу в 1978 году. До тех пор Брукс и Мателски не придавали особого значения
своему открытию, но после публикации статьи Кранца и последовавшего не
вполне корректного ответа Мандельброта заявили, что их нужно, по меньшей
мере, считать соавторами открытия. Ну и пошло-поехало (благодатное поле
для психолога!). Еще один исследователь, Дж. Хаббард, также заявил, что
множество Мандельброта наблюдал на дисплее своего компьютера в 1976 году,
а его аспирант, Ф. Кочмен, ознакомил Мандельброта с этими исследованиями
двумя годами позже. Кроме того, Хаббард, Мателски и Брукс предложили считать
истинным открывателем множества французского математика Пьера Фату, описавшего
его аж в 1906 году. Оказалось также, что и венгерский математик Ф. Рисс
опубликовал работу с близкими к обсуждаемым результатами еще в 1952 году.
Возражение Мандельброта: сами по себе определения или даже построения
ничего не значат, если вы не смогли сказать, почему это важно, и убедить
в этой важности остальных. Поэтому, мол, его претензии на название множества
вполне обоснованы.
Пищу для размышлений на эту тему добавила мне статья известного современного
гидромеханика и асимптотика Милтона Ван Дайка. Она посвящена корням так
называемого метода пограничного слоя, обнаруженным в прошлом веке. Само
понятие пограничного слоя сейчас оказывается важнейшим " гидродинамике
и газовой динамике и описывает такое явление: влияние вязкости потока,
обтекающего тело, например, сферу, сказывается в полной мере лишь в узкой
(пограничной) области, а в остальной части пространства этот фактор может
не учитываться. Более общо явление пограничного слоя (называемого также
скин- или краевым эффектом) заключается в том, что в большей части рассматриваемой
области (как правило, вдали от границ) решение уравнений изменяется медленно,
а вблизи границ имеет место быстроизменяющееся и сосредоточенное в узкой
области состояние.
Традиционно считается, что понятие пограничного слоя явно было введено
немецким ученым Людвигом Прандтлем в 1904 году. Правда, сам Прандтль отдавал
пальму первенства физику Л. Лоренцу из Копенгагена, в публикации которого
в 1881 году встречаются, хоть и в неполном виде, уравнения вязкого пограничного
слоя. Поскольку никакого развития эта идея в трудах Л. Лоренца не получила,
ученики Прандтля просто выбрасывали упоминание об этих работах в посмертных
переизданиях трудов учителя.
Но одним Лоренцем число предшественников не ограничивается. Некоторые
авторы предлагают считать создателем теории пограничного слоя самого Пьера
Симона Лапласа и вроде бы имеют для этого все основания. Тот рассматривает
в четвертом томе своего знаменитого "Трактата о небесной механике",
вышедшего в Париже в 1805 году, форму капли ртути, лежащей на горизонтальной
стеклянной пластине. Лаплас отмечает большую сложность базового уравнения
и предлагает исходить из естественного предположения: силы поверхностного
натяжения существенны лишь в узкой области, прилегающей к пластине. В этой
области из-за ее узости можно заменить настоящую форму вертикальным отрезком
прямой. Форма остальной части области при отбрасывании сил поверхностного
натяжения определяется без труда, а затем два упрощенных решения можно
срастить и получить полное решение задачи. Занятно, кстати, что решение
Лапласа неоднократно переоткрывалось: например, лордом Рэлеем в 1915 году
и даже нашим современником С. И. Риенстра - в 1990!
В списке тех, кто использовал идеологию пограничного слоя для решения
различных задач до Прандтля,- Герц (контактные задачи), Максвелл (определение
вязкости газов), Гельмгольц и Кирхгофф (теория электричества), Рэлей (теория
диффракции, теория оболочек), Ляв, Лэмб и Бассет (теория оболочек). Казалось
бы, разобраться во всем этом и выделить кого-либо трудно, но в заключении
своей статьи М. Ван Дайк делает очень глубокое, на мой взгляд, замечание.
Пожалуй, говорит он, во всех рассмотренных случаях следует говорить не
о корнях метода пограничного слоя, а о его зернах, причем зернах непроросших,
поскольку сами упомянутые работы не имели продолжения в исследованиях их
авторов или учеников. И это вовсе не случайно.
Дело в том, что и Лаплас, и другие исследователи считали свои решения
искусственными приемами, справедливыми только для данной конкретной задачи,
, и не увидели всей стоящей за понятием пограничного слоя общности. Иными
словами, не было озарения, инсайта, выхода за конкретную проблему. Конечно,
здесь тоже не все так просто, и тот же Л. Прандтль, по-видимому, не до
конца понимал всю общность и значение своего открытия и не использовал
понятие пограничного слоя даже в родственных задачах гидромеханики, где
это было наиболее естественно. И все же именно ему принадлежит решающий
шаг в этой области, и именно его мы можем с полным основанием считать творцом
понятия пограничного слоя.
Точно так же, думаю, мы можем считать Б. Мандельброта творцом множества
Мандельброта, хотя, конечно, предшественников цитировать надо...
Октябрь 1997
|
|